解决球问题的四大策略浙江 曾安雄一、突出球心球心是球的灵魂，抓住球心就抓住了球的位置，特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和切点及球心的连线来构造多面体，使球问题转化为多面体问题来加以解决． 例 1〔2025 年全国高考卷Ⅱ四川、吉林等地〕球的半径为 1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，那么球心到平面的距离为〔 〕 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 分析：突出球心即可．由于三点在球面上，且每两点间的球面距离相等．故可构造正三棱锥求解． 解 ： 球 心与三 点 构 成 正 三 棱 锥，如下图，，， 由此可得面． ，． 由，得．应选〔Ｂ〕．评注：解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．二、展示大圆因为大圆的半径就是球的半径，所以我们可以把球的问题转化为圆的问题，使空间问题平面化． 例 2〔2025 年全国高考卷Ⅲ陕西、广西等地〕用平面截半径的为的球，假如球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的外表积的比值为 ． 分析：只要画出截面及球的大圆，利用及的数量关系，即可求出小圆的半径． 解：作出球的大圆截面图，如下图，易得．故得．评注：展示大圆的特征图是将空间问题平面化的重要途径．对于球问题通常要抓住其特征〔即球半径、小圆半径及圆心距构成的直角三角形〕来解决．三、巧作截面解与球有关的截面问题通常要作出轴截面，即通过大圆的截面．例 3 〔2025 年全国高考江苏卷〕一平面截一球得到直径是 6cm的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，那么该球的体积是〔 〕 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 分析：作过大圆的截面，那么问题可迎刃而解． 解 ： 画 出 截 面 图 ， 作 图 所 示 ， 知 球 的 半 径， 求 得，应选〔Ｃ〕．评注：解有关球的外表积和体积问题，最关键是画出截面图，转化为平面几何问题求出球半径．四、掌握规律在解决球问题时，除了以上几种方法外，还应掌握一定的规律．如长方体的外接规律：长方体的外接球直径恰为其对角线长为，即．特别地，正方体的外接球直径恰为其对角线长，即．例 4 〔2001 年北京春季高考题〕球内接正方体的外表积为，那么球的体积等于 ． 解：设正方体的边长为，那么有． 又由性质有，故有． 由此求得．
