【创新设计】2025-2025 学年高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课 苏教版选修 2-2题型一 用导数求曲线的切线方程利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和 y1＝f(x1)求出 x1，y1的值，转化为第一种类型．例 1 已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)．(1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值．解 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当 a＝2 时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.(2)由 f′(x)＝1－＝，x>0 知：① 当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值；② 当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a.又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0，当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数 f(x)在 x＝a 处取得微小值，且微小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得微小值 a－aln a，无极大值．跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为 l，若 l 与圆 C：x2＋y2＝相切，求 a 的值．解 依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，∴l 的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0， l 与圆相切，∴＝⇒a＝，∴a 的值为.题型二 用导数求函数的单调区间求解函数 y＝f(x)单调区间的步骤：(1)确定函数 y＝f(x)的定义域；(2)求导数 y′＝f′(x)；(3)解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．例 2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；(2)f(x)＝x(x－a)2.解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令 f′(x)>0，解得 x>2，又 x∈(0，＋∞)，∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．(2)函数 f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x 的定义域为 R，由 f′(x)＝3x...
