高数下试卷分类解析-04 级数 高数下试卷分类解析-级数 2025 级 十、（非化工类做）（本题 7 分）求幂级数的收敛域. 解 当时，由于，级数收敛，故幂级数也收敛 因此当时幂级数绝对收敛而收敛。从而收敛域为 十一（非化工类做）（本题 7 分）将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间. 解 由于，； 从而 十二、（非化工类做）（本题 7 分）设函数展开成正弦级数。. 解: 作奇延拓，再作周期延拓。由新函数的奇函数性质，， 所以 2025 级 十、（非化工类做）（本题 6 分）求幂级数的收敛域. 解 当时，幂级数化为收敛； 当时，幂级数化为也收敛 从而收敛域为 十一（本题 7 分）将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间. 解 ； 从而 十二、（非化工类做）（本题 6 分）设函数是以为周期的周期函数，它在上的表达式为，将其展成傅立叶级数，并确定其成立范围。. 解: 由函数上的奇函数性质，， 所以 2025 级 八、 [6 分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）证明阿贝尔定理：若收敛, 则当时,幂级数绝对收敛; 若发散, 则当时,幂级数发散. 九、 [7 分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）将函数展开成余弦级数 十、 [6 分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）求幂级数的收敛半径和收敛域. 2025 级 十、 [6 分]（非化工类做）设且，试根据的值判定级数的敛散性 解：，从而 当，即时，级数收敛； 当，即时，该级数发散 十一、[6 分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将函数展开成傅立叶级数 解：，（奇函数在对称区间上积分） 从而 十二、[7 分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设，证明：满足微分方程，并求 解： 从而 而且 解初值问题， ，通解为 ，由初值条件：， 2025级 十、 [7 分]（非化工类做）求幂级数的收敛域及其和函数 解：由，从而为收敛区间 又时级数发散（调和级数去掉第一项），时级数由莱布尼茨判别法知道其收敛，从而收敛域为 设，则 ， 因此 十一、[6 分]（非化工类做）将函数展开成的幂级数 解：的定义域为， 从而 十二、[6 分]（非化工类做）证明：在区间上等式成立 证明：对上的偶函数作周期为的周期延拓，再作出其傅立叶级数由收敛定理即可推出。 由公式 ，从而由收敛定理知道在上一定成立 2025 级 十一、（非化工类...
