高考数学分类汇编数列

2025 年高考数学试题分类汇编数列一、选择题1、（2025 年浙江高考）如图，点列分别在某锐角的两边上，且，.(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合)若，为的面积，则（ ）A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列【答案】A二、填空题1、（2025 年江苏省高考）已知{an}是等差数列，Sn是其前 n 项和.若 a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 ▲ .【答案】2、（2025 年上海高考）无穷数列{an}由 k 个不同的数组成，Sn为{an}的前 n 项和.若对任意的，则 k 的最大值为 .【答案】4三、解答题1 、 （ 2025 年 北 京 高 考 ） 已 知 {an} 是 等 差 数 列 ， {bn} 是 等 差 数 列 ， 且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设 cn= an+ bn，求数列{cn}的前 n 项和.解：（I）等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以（，，，）．（II）由（I）知，，．因此．从而数列的前项和．2、（2025 年江苏省高考）记.对数列和的子集 T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为 3 的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.（2）因为，，所以.因此，.（3）下面分三种情况证明.① 若是的子集，则.② 若是的子集，则.③ 若不是的子集，且不是的子集.令，则，，.于是，，进而由，得.设是中的最大数， 为中的最大数，则.由（2）知，，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.综合①②③得，.3、（2025 年山东高考）已知数列的前 n 项和，是等差数列，且.（I）求数列的通项公式； （II）令.求数列的前 n 项和. 【解析】（Ⅰ）由题意得，解得，得到。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而 利用“错位相减法”即得试题解析：（Ⅰ）由题意当时，，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即，所以，以上两式两边相减得所以4、（2025 年上海高考）对于无穷数列{}与{}，记 A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列.（1）若=，=，推断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前 16 项的和；（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.解析：（1）因为，，所以，从而与不是无穷互补数...