第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程 数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实行推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面袭击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经可以解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，运用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例 1】 若，则的值为 ． 思绪点拨 视为整体，令，用换元法求出即可．【例 2】 若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 思绪点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注的隐含制约．注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特别的转化等． 解下列方程： （1）； (2)； （3）． 根据常规思绪求解繁难，应恰当转化，对于(1)，运用倒数关系换元；对于(2)，从受到启示；对于(3)，设，则可导出、的结果．注：换元是建立在观测基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．【例 4】 若关于的方程只有一个解(相等的解也算作一个)，试求的值与方程的解． 思绪点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值．注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有也许产生增根，分式方程只有一个解也许足转化后所得的整式方程只有一个解，也也许是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．【例 5】 已知关于的方程有两个根相等，求的值．思绪点拨 通过换元可得到两个关于的含参数的一元二次方程，运用判别式求出的值．注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高规定． 学历训练1．若关于的方程有增根，则的值为 ；若关于的方程 曾...
