2025年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答方程与函数

第十二讲 方程与函数 方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组 ，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系函数思想的实质是剔除问题的非本质特性，用联系和变化的观点讨论问题．转化为函数关系去解决． 方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在拟定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例 1】 若关于的方程有解，则实数 m 的取值范围 ． 思绪点拨 可以运用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此拟定 m 的取值范围．【例 2】设关于的方程有两个不相等的实数根， ，且<1<，那么取值范围是( ) A． B． C． D． 思绪点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求相应的二次函数与轴的交点满足<1<的的值，注意判别式的隐含制约． 【例 3】 已知抛物线 ()与轴交于两点 A(，0)，B(，0)( ≠)． (1)求的取值范围，并证明 A、B 两点都在原点 O 的左侧； (2)若抛物线与轴交于点 C，且 OA+OB＝OC 一 2，求的值． 思绪点拨 、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，运用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．【例 4】 抛物线与轴的正半轴交于点 C，与轴交于 A、B两点，并且点 B 在 A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的 3 倍． (1)求这条抛物线的解析式； (2)推断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由． 思绪点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可鉴定相应方程根的符号特性、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于 m 的等式，求出 m 的值；对于(2)依 m 的值分类讨论．【例 5】 已知抛物线上有一点 M(，)位于轴下方． (1)求证：此抛物线与轴交于两点； (2)设此抛物线与轴的交点为 A(，0)，B(，0)，且 <，求证： <<． 思绪点拨 对于(1)，即要证；对于(2)，即要证． 注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特性、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识． (2)对较复杂的二次方程实根分布问...