高考数学 考点一遍过 专题23 等比数列及其前n项和（含解析）理试题VIP免费

专题23等比数列及其前n项和（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.（3）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)qq，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n无关的常数.2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时2Gab．3．等比数列的通项公式及其变形首项为1a，公比为q的等比数列的通项公式是111(,0)nnaaqaq．等比数列通项公式的变形：nmnmaaq．4．等比数列与指数函数的关系等比数列na的通项公式11nnaaq还可以改写为1nnaaqq，当1q且10a时，xyq是指数函数，1xayqq是指数型函数，因此数列na的图象是函数1xayqq的图象上一些孤立的点．①当101aq或1001aq时，na是递增数列；②当1001aq或101aq时，na是递减数列；③当1q时，na为常数列(0)na；④当0q时，na为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．二、等比数列的前n项和公式首项为1a，公比为q的等比数列na的前n项和的公式为111,1.(1),111nnnnaqSaaqaqqqq（1）当公比1q时，因为10a，所以1nSna是关于n的正比例函数，则数列123,,,,,nSSSSLL的图象是正比例函数1yax图象上的一群孤立的点．（2）当公比1q时，等比数列的前n项和公式是1(1)1nnaqSq，即11nnaSqq11aq，设11amq，则上式可写成nnSmqm的形式，则数列123,,,,,nSSSSLL的图象是函数xymqm图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和nS是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．三、等比数列及其前n项和的性质若数列na是公比为q的等比数列，前n项和为nS，则有如下性质：（1）若mnpq，则mnpqaaaa；若2mnr，则2(,)mnraaamn,p,q,r*N．推广：1211;nniniaaaaaa①LL②若mntpqr，则mntpqraaaaaa．（2）若,,mnp成等差数列，则,,mnpaaa成等比数列．（3）数列(0)na仍是公比为q的等比数列；数列1{}na是公比为1q的等比数列；数列||na是公比为||q的等比数列；若数列nb是公比为q'的等比数列，则数列nnab是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,kkmkmkmaaaaL成等比数列，公比为mq．（5）连续相邻k项的和（或积）构成公比为(kq或2)kq的等比数列．（6）当1q时，nmSnSm；当1q时，11nnmmSqSq．（7）mnnmmnnmSSqSSqS．（8）若项数为2n，则SqS偶奇，若项数为21n，则1SaqS奇偶．（9）当1q时，连续m项的和（如232,,,mmmmmSSSSSL）仍组成等比数列（公比为mq，2m）．注意：这里连续m项的和均非零．考向一等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：1nnaqa(q为常数且0)q数列{}na是等比数列．（2）等比中项法：212(,0)nnnnaaana*N数列{}na是等比数列．（3）通项公式法：(0,)nnatqtqn*N数列{}na是等比数列．（4）前n项和公式法：若数列的前n项和nnSAqA(0,0,1)Aqq，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足10nnaqaq的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a.典例1设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n,设bn=an+3.求证：数列{bn}是等比数列,并求an.1．已知各项为正数的数列{an},a1=1,(an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),证明：{an+1}是等比数列.考向二等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所...