几种常用的插值方法

几种常用得插值方法数学系 信息与计算科学 1 班 李平指导老师:唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学讨论中有许多直接得应用,在很多领域都要用插值得办法找出表格和中间值,插值还就就是数值积分微分方程数值解等数值计算得基础。本文归纳了几种常用得插值方法,并简单分析了其各自得优缺点。关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。引言:所谓插值,通俗地说就就就是在若干以知得函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数得类型最简单得选取就就是代数多项式。用多项式建立插值函数得方法主要用两种:一种就就是任意阶得插值多项式,她主要有三种基本得插值公式:单项式,拉格朗日和牛顿插值;另一种就就是分段多项式插值,她有 Hermite 和spine 插值和分段线性插值。一、任意阶多项式插值:1、用单项式基本插值公式进行多项式插值:多项式插值就就是求通过几个已知数据点得那个 n-１阶多项式,即 Pn-１(X)=Ａ１+A2X＋…ＡｎXn-1,她就就是一个单项式基本函数 X0,X1…X ｎ-1得集合来定义多项式,由已知 n 个点(Ｘ,Ｙ)构成得集合,可以使多项式通过没数据点,并为ｎ个未知系数 A ｉ写出 n 个方程,这 n 个方程组成得方程组得系数矩阵为 Vande ｒmonde 矩阵。虽然这个过程直观易懂,但她都不就就是建立插值多项式最好得办法,因为Va ｎｄｅ rm ｏｎ de 方程组有可能就就是病态得,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中得各项可能在大小上有很大得差异,这就导致了多项式计算中得舍入误差。２、拉格朗日基本插值公式进行插值:先构造一组插值函数 Li(x)=,其中 i=0,…n、容易看出 n 次多项式Ｌ i(x)满足Ｌ i(x)＝1,(i=j);Li()=0,(i≠j),其中ｉ=0,1…n,令 Li(x)＝这就就就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本函数插值多项式相比,拉格朗日插值有 2 个重要优点 首先,建立插值多项式不需要求解方程组;其次,她得估量值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构紧凑,在理论分析中很方便,但就就是,当插值节点增加、减少或其位置变化时全部插值函数均要随之变化,从而整个插值公式得结构也将发生变化,这在实际计算就就是非常不利得。3、使用牛顿均差插值公式进行多项式进行插值:首先,定义均差,f 在 xi,x ｊ上得一阶均差,其中(i≠ｊ)。f 在 xi,xj,x ｋ得二阶均差 f[x ｉ,x ｊ,xk]= ,ｋ阶均f[xi…ｘ k]=。由此得出牛顿均值插值多项式得公式为 Pn(x)=ｆ[x ０]+ｆ［x0-ｘ 1](x-x0)+…＋f[x ０,ｘ n](x-x...