第四篇 无穷级数第七章 无穷级数 无穷级数就是高等数学课程得重要内容,它以极限理论为基础,就是讨论函数得性质及进行数值计算方面得重要工具、 本章首先讨论常数项级数,介绍无穷级数得一些基本概念与基本内容,然后讨论函数项级数,着重讨论如何为将函数展开成幂级数与三角级数得问题,最后介绍工程中常用得傅里叶级数、第１节 常数项级数得概念与性质１、1 常数项级数得概念一般得,给定一个数列 则由这数列构成得表达式叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为, 即,其中第项叫做级数得一般项
作级数得前项与称为级数得部分与
当 n 依次取１,2,３…时,它们构成一个新得数列,,,…,,…根据这个数列有没有极限,我们引进无穷级数得收敛与发散得概念、 定义 假如级数得部分与数列有极限, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限叫做这级数得与, 并写成;假如没有极限, 则称无穷级数发散、当级数收敛时, 其部分与就是级数得与得近似值, 它们之间得差值叫做级数得余项
例 1 讨论等比级数(几何级数)(ａ0)得敛散性
解 假如, 则部分与
当时, 因为, 所以此时级数收敛, 其与为
当时, 因为, 所以此时级数发散
假如, 则当时, , 因此级数发散; 当时, 级数成为,因为随着为奇数或偶数而等于或零, 所以得极限不存在, 从而这时级数发散、 综上所述, 假如, 则级数收敛, 其与为; 假如, 则级数发散
例 2 判别无穷级数得收敛性
解 由于,因此,而 ,故该级数发散
例 3 判别无穷级数得收敛性
解 因为 ,所以 ,从而,所以这级数收敛, 它得与就是 1、 1
2 收敛级数得基本性质根据无穷级数收敛、发散得概念,可以得到收敛级数得基本性质
性质 1 假如级数收敛于与, 则它得各项同乘以一个常数所得得级数也收敛, 且其与为
证明 设与得部分与分别为与, 则,这表明级数收敛, 且与为
