第四篇 无穷级数第七章 无穷级数 无穷级数就是高等数学课程得重要内容,它以极限理论为基础,就是讨论函数得性质及进行数值计算方面得重要工具、 本章首先讨论常数项级数,介绍无穷级数得一些基本概念与基本内容,然后讨论函数项级数,着重讨论如何为将函数展开成幂级数与三角级数得问题,最后介绍工程中常用得傅里叶级数、第1节 常数项级数得概念与性质1、1 常数项级数得概念一般得,给定一个数列 则由这数列构成得表达式叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为, 即,其中第项叫做级数得一般项。作级数得前项与称为级数得部分与。 当 n 依次取1,2,3…时,它们构成一个新得数列,,,…,,…根据这个数列有没有极限,我们引进无穷级数得收敛与发散得概念、 定义 假如级数得部分与数列有极限, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限叫做这级数得与, 并写成;假如没有极限, 则称无穷级数发散、当级数收敛时, 其部分与就是级数得与得近似值, 它们之间得差值叫做级数得余项。例 1 讨论等比级数(几何级数)(a0)得敛散性.解 假如, 则部分与.当时, 因为, 所以此时级数收敛, 其与为。 当时, 因为, 所以此时级数发散. 假如, 则当时, , 因此级数发散; 当时, 级数成为,因为随着为奇数或偶数而等于或零, 所以得极限不存在, 从而这时级数发散、 综上所述, 假如, 则级数收敛, 其与为; 假如, 则级数发散. 例 2 判别无穷级数得收敛性. 解 由于,因此,而 ,故该级数发散。例 3 判别无穷级数得收敛性。 解 因为 ,所以 ,从而,所以这级数收敛, 它得与就是 1、 1.2 收敛级数得基本性质根据无穷级数收敛、发散得概念,可以得到收敛级数得基本性质。 性质 1 假如级数收敛于与, 则它得各项同乘以一个常数所得得级数也收敛, 且其与为. 证明 设与得部分与分别为与, 则,这表明级数收敛, 且与为. 性质 2 假如级数、分别收敛于与、, 则级数也收敛, 且其与为、证明 假如、、得部分与分别为、、, 则 。 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数得收敛性、 比如, 级数就是收敛得; 级数也就是收敛得; 级数也就是收敛得。 性质 4 假如级数收敛, 则对这级数得项任意加括号后所成得级数仍收敛, 且其与不变。 应注意得问题: 假如加括号后所成得级数收敛, 则不能断定去括号后原来得级数也收敛. 例如, 级数(1-1)+(1—1) + 收敛于零, 但级数1—1+1—1+ 却就是...