课题：二次函数(1)一、知识梳理二次函数作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题． 二次函数研究就应从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征．从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法．1、二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：零点式：存在零点，则有2、二次函数的图象和性质 （1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线 的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数 x，都有 。当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最大值 。（2）、二次函数的图象与 x 轴的位置关系：由判别式判定3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系一般地，设二次函数，二次方程的根的差别式 ，我们可以利用二次方程的根求出不等式,或,解集，它们的关系如下表：二次函数（）的图象二次方程的根==没有实数根（）的解集(-)R（）的解集(,)二、题型探究[探究一]二次函数的最值问题例 1：已知函数 f(x)=,t 为实数，求函数的最小值。变式：如何求函数的最大值。[探究二] 二次函数与一元二次方程例 2．若函数是偶函数，则函数的最小值为 ．解：∵二次函数是偶函数，∴其图像关于轴对称．∴．∴函数的最小值为．例 3：【2014 高考江苏卷第 13 题】已知是定义在上且周期为 3 的函数，当时，，若函数在区间上有 10 个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．[探究三] 二次函数与导数例 4． 已知函数在 R 上满足，则曲线在点处的切线方程是 .解：由得，即，∴∴，∴切线方程为，即例 5.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ．解：由已知，而，∴[探究四] 二次函数与恒成立问题例 6.若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 ．解：由已知对一切实数恒成立．（1）当时，满足题意；（2）当时，只须解得．由（1）、（2）得．练习：若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 ．解：由已知对一切实数恒成立．（1）当时，满足题意；（2）当时，只须．解得．由（1）、（2）得．
