第 2 讲 不等式的证明板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识]考点 1 比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．考点 2 综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．考点 3 分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．考点 4 反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．考点 5 放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．考点 6 柯西不等式1．二维形式的柯西不等式定理 1 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式定理 2 设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”时，假设为“a，b，c 全不为 0”．( )(2)若>1，则 x＋2y>x－y.( )(3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.( )(4)若实数 x、y 适合不等式 xy>1，x＋y>－2，则 x>0，y>0.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．[2018·温州模拟]若 a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A.< B．a2>b2C.> D．a|c|>b|c|答案 C解析 应用排除法．取 a＝1，b＝－1，排除 A；取 a＝0，b＝－1，排除 B；取 c＝0，排除 D.显然>0，对不等式 a>b 的两边同时乘以，立得>成立．故选 C.3．[课本改编]不等式：① x2＋3>3x；② a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是( )A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②答案 D解析 由①得 x2＋3－3x＝2＋>0，所以 x2＋3>3x；对于②，因为 a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，...
