导数与定积分（尖刀班）(3)【探究 10】：不等式恒成立与存在性问题思路提示在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．（1）若函数在区间 D 上存在最小值和最大值，则不等式在区间 D 上恒成立；不等式在区间 D 上恒成立；不等式在区间 D 上恒成立；不等式在区间 D 上恒成立；（2）若函数在区间 D 上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间 D 上恒成立．不等式在区间 D 上恒成立．例 14. 已知函数（1）求的最小值．（2）对所有都有，求实数的取值范围．分析 第（2）问可用分离变量的方法求解参数的取值范围．解析 函数的定义域是，（1），令，解得，当时，当，时；故在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值．（2）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立，即．设则，令，得，当时，因为，故在上是增函数，所以在上的最小值是，故的取值范围是．评注 对于恒成立问题，其根本思路是转化，而转化只有两种方法．1，变量分离法，2，不分离参数法，本例第（２）问运用分离变量的方法，使得构造中的函数不含有参数，避免了对参数的分类讨论，对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法（见本例的变式 1），同学们应该视不同的情形使用不同的方法．变式 1 设函数．（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围．变式 2 （2012 湖南 22（1））已知函数，其中，若对一切恒成立，求的取值集合．例 15. 设函数（1）证明; 的导数；（2）若对所有，都有，求的取值范围．解析 （1），由基本不等式得，故，当且仅当时．（2）令，由．① 当时，，函数在上单调递增，则，满足题意．② 当时，，因为函数在上单调递增，令，得当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，因此，当时，不满足在，故不满足题意，舍去．综上，的取值范围为．评注 对于恒成立问题，其根本思想是 “转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离参数法，对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数法操作上简单，可以视不同情形，选择不同的方法变式 1 （2012 天津 20）已知的最小值为０，其中．（１）求的值；（２）若对任意的，均有成立，求...
