第 3 讲 平面向量的数量积及应用板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 数量积的有关概念1．两个非零向量 a 与 b，过 O 点作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB ＝ θ ，叫做向量 a 与 b 的夹角；范围是 0°≤θ≤180°.2．a 与 b 的夹角为 90 度时，叫 a⊥b.3．若 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cosθ.4．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2.5．a 在 b 的方向上的投影为|a|cosθ.6．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为 θ，则|a|＝，cosθ＝.a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .考点 2 数量积满足的运算律已知向量 a，b，c 和实数 λ，则向量的数量积满足下列运算律：1．a·b＝b·a.2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[必会结论]1．设 e 是单位向量，且 e 与 a 的夹角为 θ，则 e·a＝a·e＝|a|cosθ；2．当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝；3．a·b≤|a||b|.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个向量．( )(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．( )(3)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( )(4)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( )(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．( )(6)若 a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×2．[2018·重庆模拟]已知向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数 k＝( )A．－ B．0 C．3 D.答案 C解析 因为 2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得 k＝3.选 C.3．[2017·全国卷Ⅰ]已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案 2解析 解法一：|a＋2b|＝＝＝＝＝2.解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.4．[2018·济南模拟]已知向量|b|＝3，a·b＝－12, 则向量 a 在向量 b 方向上的投影是________．答案 －4解析 因为向量|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是＝＝－4.5．[2016·北京高考]已知向量 a＝(1，)，b＝(，1)，则 a ...
