第 2 讲 一元二次不等式及其解法板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0)．2．计算相应的判别式．3．当 Δ ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根．4．利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．考点 2 三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|x > x 2 或x < x 1}{x|x ≠ x 1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x < x 2}∅∅[必会结论]1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0 且 b2－4ac<0(x∈R)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0.( )(2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0的两个根是 x1和 x2.( )(3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( )(4)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．[课本改编]不等式(x－1)(2－x)≥0 的解集为( )A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1 或 x≥2}C．{x|12}答案 A解析 因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选 A.3．[2018·辽阳统考]不等式≤0 的解集是( )A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2]C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]答案 D解析 ≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且 x≠－1，即 x∈(－1,2]．故选 D.4．若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4,1)，则不等式 b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0 的解集为( )A. B．(－∞，1)∪C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 A解析 由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4,1)，知 a<0 且－4,1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．∴－4＋1＝－，且－4×1＝，即 b＝3a，c＝－4a.则所求不等式转化为 3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，即 3x2＋x－4<0，解得－
