(理)第 2 讲 计数原理 二项式定理 [考情考向·高考导航]1．以实际生活为背景考查计数原理，排列与组合的简单应用，以客观题形式出现，难度中档．2．考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题，以选择题的形式出现，难度低中档．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：当有 1 位女生入选时，有 CC＝12(种)，当有 2 位女生入选时，有 CC＝4(种)，由分类加法计数原理可得不同选法共有 12＋4＝16(种)．答案：162．(2017·全国Ⅱ卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A．12 种 B．18 种C．24 种 D．36 种解析：D [只能是一个人完成 2 份工作，剩下 2 人各完成一份工作．由此把 4 份工作分成 3份再全排得 C·A＝36.]3．(2018·全国Ⅲ卷)5的展开式中 x4的系数为( )A．10 B．20C．40 D．80解析：C [5的第 k＋1 项为 Tk＋1＝C2kx10－3k.令 10－3k＝4，得 k＝2.∴x4的系数为 C×22＝40.]4．(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中 x3的系数为( )A．12 B．16C．20 D．24解析：A [本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．由题意得 x3的系数为 C＋2C＝4＋8＝12，故选 A.][主干整合]1．排列与组合公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(2)C＝＝＝.(3)C＝C；C＝C＋C.(4)C＝C＝C＝C.2．二项式定理(1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，二项展开式的通项 Tr＋1＝Can－rbr.(2)在二项展开式中，C＝C(r＝0,1,2，…，n)．(3)C＋C＋…＋C＝2n.(4)相邻项的二项式系数的关系为 C＋C＝C.1热点一 计数原理的简单应用[题组突破]1．(2019·石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．解析：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有 4 种报名方法，共有 45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对 4 个冠军逐一落实，每个冠军有 5 种获得的可能性，共有 54种获得冠军的可能性．答案：45；542．(2020·大连模拟)现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从...
