第 2 讲 空间中的平行与垂直 [考情考向·高考导航](文)高考对本讲命题较为稳定，解答题的第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，而第(2)问多考查面积、体积的计算，难度中等偏上．解答题的基本模式是“一证明二计算”．(理)高考对本讲命题较为稳定，常以解答题第(1)问的形式考查，主要是线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中等．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面 EB1C1；(2)若 AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥 E－BB1C1C 的体积．解：(1)由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE.又 BE⊥EC1，所以 BE⊥平面 EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°，由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.作 EF⊥BB1，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C，且 EF＝AB＝3.所以，四棱锥 E－BB1C1C 的体积 V＝×3×6×3＝18.2．(2019·江苏卷)如图，1在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面 DEC1；(2)BE⊥C1E.证明：(1)因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 ED∥AB.在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以 A1B1∥ED.又因为 ED⊂平面 DEC1，A1B1⊄平面 DEC1，所以 A1B1∥平面 DEC1.(2)因为 AB＝BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC.因为三棱柱 ABC－A1B1C1是直棱柱，所以 C1C⊥平面 ABC.又因为 BE⊂平面 ABC，所以 C1C⊥BE.因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以 BE⊥平面 A1ACC1.因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E.[主干整合]1．证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法：①利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；②利用平行四边形进行平行转换；③利用三角形的中位线定理证线线平行；④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两直线垂直，只需证明一直线垂直于另一直线所在平面即可，即l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.2．空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．2热点一 空间平行、垂直关系的...
