(理)第 3 讲 立体几何中的向量方法 [考情考向·高考导航]空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何中的位置关系、空间角以及空间距离的计算等问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为一题多问，多步设问，通常第一问考查空间位置关系，第二、三问考查空间角或距离，难度中等．利用空间向量求空间角仍是重点，对于探索点或线满足所给关系的问题要引起重视．[真题体验](2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点．(1)证明：MN∥平面 C1DE；(2)求二面角 A－MA1－N 的正弦值．证明：(1)连 B1C，ME，则 MEB1C，又 DN＝A1D而 A1D B1C∴MEND.∴四边形 MNDE 为平行四边形，∴MN∥DE又 MN⊄平面 C1DE，DE⊂平面 C1DE∴MN∥平面 C1DE.(2)取 AB 的中点 F，连接 DF，由已知，DF⊥DC，DF⊥D1D.以 D 为坐标原点，DF，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，1 AA1＝4，AB＝2.∴A1(，－1,4)，M(，1,2)，N，则A1M＝(0,2，－2)，A1N＝.设平面 MA1N 的法向量为 m＝(x，y，z)，则 m⊥A1M，m⊥A1N∴令 y＝1，得平面 MA1N 的一个法向量为 m＝(－，1,1)．又平面 AMA1的一个法向量为 n＝(1,0,0)，设二面角 A－MA1－N 的平面角为 θ，则cos θ＝＝＝－.∴sin θ＝.即二面角 A－MA1－N 的正弦值为.[主干整合]1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β 的法向量分别为 μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面 α，β 的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设 l，m 的夹角为 θ，则cos θ＝＝.(2)线面夹角2设直线 l 与平面 α 的夹角为 θ，则sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|.(3)面面夹角设平面 α，β 的夹角为 θ(0≤θ＜π)．则|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|.热...
