第 3 讲 圆锥曲线的综合应用 [考情考向·高考导航]1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或拋物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．[真题体验]1．(2019·北京卷)已知椭圆 C：＋＝1 的右焦点为(1,0)，且经过点 A(0,1)．(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为原点，直线 l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线 l 经过定点．解析：(1)因为椭圆的右焦点为(1,0)，c＝1；因为椭圆经过点 A(0,1)，所以 b＝1，所以 a2＝b2＋c2＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，y1y2＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝.直线 AP：y－1＝x，令 y＝0 得 x＝，即|OM|＝；同理可得|ON|＝.因为|OM||ON|＝2，所以＝＝2；＝1，解之得 t＝0，所以直线方程为 y＝kx，所以直线 l 恒过定点(0,0)．答案：(1)＋y2＝1 (2)见解析2．(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线 C：y2＝2x，点 A(2,0)，B(－2，0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于M，N 两点．(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.解：(1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x＝2，可得 M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线 BM 的方程为 y＝x＋1 或 y＝－x－1.(2)当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＞0，x2＞0.由得 ky2－2y－4k＝0，可知 y1＋y2＝，y1y2＝－4.直线 BM，BN 的斜率之和为 kBM＋kBN＝＋＝.①将 x1＝＋2，x2＝＋2 及 y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.所以 kBM＋kBN＝0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.[主干整合]1．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．1(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P...
