例 2 用定义证明规范证法 设,对于任意给定的 ε>0，要使,只要就 可 以 了 ． 因 此 ， 对 于 任 意 给 定 的 ε>0 ， 取, 则 当 |x|>M 时 ，有时，我们还需要区分 x 趋于无穷大的符号．如果 x 从某一时刻起，往后总是取正值而且无限增大．则称 x 趋于正无穷大，记作 x→+∞，此时定义中，|x|>M 可改写为 x>M，如果 x从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称 x 趋于负无穷大，记作 x→-∞，此时定义中的|x|>M 可改写成 x<-M．例 3 思路启迪 根据定义，要证即证对于任意给定的 ε>0，总存在 M>O，使当x>M 时，即可．规范证法 设对任意给定的 ε>0，要使，只要，即就可以了．因此 ， 对 于 任 意 给 定 的1>ε>0 ， 取, 则 当x>M时 ，恒成立，所以当 x→∞时，f(x)以 A 为极限的几何意义是：对于任意给定的正数 ε(无论多么小)，在坐标平面上作两平行直线 y=A-ε 与 y=A+ε，两直线之间形成一个带形区域．不论 ε 多么小即不论带形区域多么狭窄，总可以找到 M>0，当点(x，f(x))的横坐标 x 进入区间(-∞，-M)U(M，+∞)时，纵坐标 f(x)全部落入区间(A-ε,A+ε)内．此时 y=f(x)的图形处于带形区域内．ε 越小，则带形区域越狭窄，如图 2—7 所示．8．什么是函数左极限与右极限?前面讲了时函数 f(x)的极限，在那里 x 是以任意方式趋于的．但是，有时我们还需要知道 x 仅从的左侧或仅从的右侧趋于时，f(x)的变化趋势．于是，就要引进左极限与右极限的概念．例如，函数，图形见图 2-8．容易观察出，当 x 从 0 的左侧趋于 0 时,f(x)趋于 1；而当 x 从 0 的右侧趋于 0 时，f(x)趋于 0．我们分别称它是 x 趋于 0 时的左极限与右极限．再考察当 x 趋于 0 时的极限．由于函数的定义域为[0，+∞)因此只能考察其右极限．对,由于其定义域为(-∞，0]，因此，当 x 趋于 0 时，只能考察其左极限．定义：如果当 x 从的左侧趋于时，f(x)以 A 为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在一个正数 δ，使时，恒成立，则称 A 为时 f(x)的左极限.记作或如果当 x 从的右侧趋于时，f(x)以 A 为极限，即对于任意给定的 ε>0，总存在—个正数 δ，使当时，|f(x)-A|<ε 恒 成 立 ， 则 称 A 为时 f(x) 的 右 极 限 ， 记 作或根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理．例 1 设思路启迪 要看当 x→0 时，f(x)的极限是否...
