指导一 数学思想·融会贯通第 1 讲 函数与方程思想、数形结合思想[一]函数与方程思想函数思想方程思想通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想构建方程或方程组，通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想[函数思想与方程思想密切相关] 方程 f(x)＝0 的解就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；函数 y＝f(x)也可以看作二元方程 f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 函数与方程思想在函数、不等式中的应用[例 1] (2019·烟台三模)已知 f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数 f(x)值域内的任意实数 m，使 x2＋mx＋4＞2m＋4x 恒成立的实数 x 的取值范围为( )A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析] D [因为 x∈[2,16]，所以 f(x)＝log2x∈[1,4]，即 m∈[1,4]．不等式 x2＋mx＋4＞2m＋4x 恒成立，即为 m(x－2)＋(x－2)2＞0 恒成立．设 g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于 0，所以即解得 x＜－2 或 x＞2.]函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．[活学活用 1](2019·贵阳三模)设 0＜a＜1，e 为自然对数的底数，则 a，ae，ea－1 的大小关系为( )A．ea－1＜a＜ae B．ae＜a＜ea－1C．ae＜ea－1＜a D．a＜ea－1＜ae解析：B [设 f(x)＝ex－x－1，x＞0，则 f′(x)＝ex－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)＞0，∴ex－1＞x，即 ea－1＞a.1又 y＝ax(0＜a＜1)在 R 上是减函数，得 a＞ae，从而 ea－1＞a＞ae.] 函数与方程思想在数列中的应用[例 2] (2020·兰州模拟)设{an}是首项为 a1，公差为－1 的等差数列，Sn为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1的值________．[解析] {an}为等差数列，则 S4＝4a1＋6d＝4a1－6，S2＝2a1－1，S1＝a1.又 S＝S1·S4知，(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，∴a1＝－.[答案] －1．应用方程的思想求等差(或等比)数列中的通项时，根据题中的条件，列出关于首...
