学案 21 二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝______________；(2)cos 2α＝________________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝____________________ (α≠＋且 α≠kπ＋)．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝________________⇒cos α＝；(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝______________；升幂公式：1＋cos α＝______________，1－cos α＝______________；变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________.自我检测1．已知 sin α＝，则 sin4α－cos4α 的值为________．2．已知 x∈(－，0)，cos x＝，则 tan 2x＝________.3．函数 y＝(sin x－cos x)2－1 的最小正周期为________．4.＋2 的化简结果是________．5．函数 f(x)＝cos 2x－2sin x 的最小值和最大值分别为________和________．探究点一 三角函数式的化简例 1 求函数 y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x 的最大值和最小值．变式迁移 1 (2010·泰安一模)已知函数 f(x)＝.(1)求 f 的值；(2)当 x∈时，求 g(x)＝f(x)＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例 2 已知 sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求 2sin2α＋tan α－－1 的值．变式迁移 2 (1)已知 α 是第一象限角，且 cos α＝，求的值．(2)已知 cos(α＋)＝，≤α<，求 cos(2α＋)的值．探究点三 三角恒等式的证明例 3 (2010·苏北四市模拟)已知 sin(2α＋β)＝3sin β，设 tan α＝x，tan β＝y，记 y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求 f(x)的解析式；(3)若角 α 是一个三角形的最小内角，试求函数 f(x)的值域．变式迁移 3 求证：＝.转化与化归思想例 (14 分)(2010·江西)已知函数 f(x)＝sin2x＋msinsin.(1)当 m＝0 时，求 f(x)在区间上的取值范围；(2)当 tan α＝2 时，f(α)＝，求 m 的值．【答题模板】解 (1)当 m＝0 时，f(x)＝sin2x＝sin2x＋sin xcos x＝＝，[3 分]由已知 x∈，得 2x－∈，[4 分]所以 sin∈，[5 分]从而得 f(x)的值域为.[7 分](2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－cos 2x＝＋sin 2x－cos 2x＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，...
