第 19 讲 概率、统计、统计案例1.[2018·全国卷Ⅱ]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30=7+23.在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是( )A. 112B. 114C. 115D. 118[试做] 命题角度 古典概型① 求古典概型概率的方法:直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再运用互斥事件概率的加法公式计算.间接法:先求事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P(A)求概率,即运用逆向思维(正难则反),特别是对“至多”“至少”型题目,用间接法求解更简便.② 易错点:当事件 A,B 为互斥事件时,有 P(A+B)=P(A)+P(B),否则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).2.(1)[2018·全国卷Ⅰ]如图 M6-19-1 所示,来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 的概率分别记为 p1,p2,p3,则 ( )图 M6-19-1A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3(2)[2017·全国卷Ⅰ]如图 M6-19-2 所示,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ( )图 M6-19-2A.14B.π8C.12D.π4[试做] 命题角度 几何概型① 利用几何概型概率公式求解.② 处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来,如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上一个区域,进而转化为面积的度量来解决.③ 易错点:利用几何概型的概率公式时,不要忽视事件是否等可能.3.[2018·全国卷Ⅲ]某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)
