第 13 讲 立体几何1.[2018·全国卷Ⅰ]如图 M4-13-1 所示,四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以DF 为折痕把△DFC 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PF⊥BF.(1)证明:平面 PEF⊥平面 ABFD;(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.图 M4-13-1 [试做] 2.[2018·全国卷Ⅲ]如图 M4-13-2 所示,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD⏜ 所在平面垂直,M 是CD⏜ 上异于 C,D 的点.(1)证明:平面 AMD⊥平面 BMC;(2)当三棱锥 M-ABC 体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值.图 M4-13-2[试做] 3.[2016·北京卷]如图 M4-13-3 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=❑√5.(1)求证:PD⊥平面 PAB.(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值. (3)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM∥平面 PCD?若存在,求 AMAP 的值;若不存在,说明理由.图 M4-13-3 [试做] 命题角度 立体几何大题求解策略① 利用法向量求解空间角的关键在于“四破”:(a)破“建系关”:建立恰当的空间直角坐标系.(b)破“求坐标关”:准确求解相关点的坐标.(c)破“求法向量关”:求出平面的法向量.(d)破“应用公式关”:熟记求角公式即可求出角.② 求空间角应注意的 3 个问题:(a)两条异面直线所成的角 α 不一定是两直线的方向向量的夹角 β,应该是 cos α=|cos β|;(b)直线与平面所成的角 α 的正弦值等于平面的法向量与直线方向向量夹角 β 的余弦值的绝对值,即 sin α=|cos β|;(c)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角.③ 平行与垂直问题的求证策略:(a)证明平行问题除结合平行关系的判定与性质定理之外,还需充分利用三角形的中位线、平行四边形等;(b)证明垂直问题,注意利用等腰三角形底边的中线与底边垂直、菱形的对角线互相垂直、勾股定理证明垂直等.解答 1 平行、垂直关系的证明1 如图 M4-13-4 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,BC=2,AD=CD=1,M 是 PB 的中点.图 M4-13-4(1)求证:AM∥平面 PCD;(2)求证:平面 ACM⊥平面 PAB.[听课笔记] 【考场点拨】(1)利用几何法证明平行与垂直,关键是根据平行与垂直的判定定理及性质定理来确定有关的线与面,如果所给图形中不存在这样的线与面,可以连接或添加有关的线与面;(2)利用向量法证明平行与垂直,首先要合理建立空间直角坐标系,其次写出...
