规范答题示范——等差数列与等比数列解答题【 典 例 】 ( 本 小 题 满 分 12 分 )(2017· 天 津 卷 ) 已 知 {an} 为 等 差 数 列 ， 前 n 项 和 为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nbn}的前 n 项和(n∈N*).[信息提取]❶ 看到求等差数列{an}和等比数列{bn}的通项公式，想到利用基本量法分别求等差、等比数列的公差和公比；❷ 看到求数列{a2nbn}的前 n 项和，想到利用错位相减法求数列的前 n 项和.[规范解答][高考状元满分心得]❶ 牢记等差、等比数列的相关公式：熟记等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式，解题时结合实际情况合理选择.如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式.❷ 注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上得出数列{a2nbn}，分析数列特征，想到用错位相减法求数列的前 n 项和.[解题程序]第一步：利用基本量法求{bn}的通项；第二步：由 b3＝a4－2a1，S11＝11b4构建关于 a1与 d 方程(组)，求 an；第三步：由第(1)问结论，表示出{a2nbn}的通项；第四步：利用错位相减法求数列前 n 项和 Tn.第五步：反思检验，规范解题步骤.【巩固提升】 (2018·德州二模)设 Sn为数列{an}的前 n 项和，且 a1＝1，当 n≥2 时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.(1)证明：数列为等比数列；(2)记 Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求 Tn.(1)证明 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1，所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则＝2×＋1，所以＋1＝2×，又＋1＝2，故数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列.(2)解 由(1)知＋1＝·2n－1＝2n，所以 Sn＝n·2n－n，故 Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).设 M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，则 2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，所以 M＝(n－1)·2n＋1＋2，所以 Tn＝(n－1)·2n＋1＋2－.
