（全国通用版）高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第4讲 导数的热点问题学案 文-人教版高三全册数学学案

第 4 讲 导数的热点问题[考情考向分析] 利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大．热点一 利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例 1 (2018·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.(1)设 x＝2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a≥时，f(x)≥0.(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝.从而 f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.当 02 时，f′(x)>0.所以 f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)证明 当 a≥时，f(x)≥－ln x－1.设 g(x)＝－ln x－1(x∈(0，＋∞))，则 g′(x)＝－.当 01 时，g′(x)>0.所以 x＝1 是 g(x)的最小值点．故当 x>0 时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当 a≥时，f(x)≥0.思维升华 用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若 f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则 f(a)≤f(x)≤f(b)；②对∀x1，x2∈[a，b]，且 x1－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.热点二 利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．例 2 (2018·雅安三诊)设函数 f(x)＝(x－1)ex－x2.(1)当 k<1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 k≤0 时，讨...