函数概念的由来在 17 世纪，数学已经出现了三角函数、对数函数．但当时还没有充分认识到函数概念．因此，17 世纪引进的绝大部分函数是当作曲线来研究的． 最早给出函数概念明确定义的是 James Gregrory，1667 年，他把函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的．”莱布尼茨首次用“function”一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量． 记号是欧拉 1743 年引进的 1748 年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式． 虽然 18 世纪对函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的．从上述函数概念的发展变化过程可看出，这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象． 在 18 世纪，由于函数概念的较全面、较完整的定义尚未形成，因而，在理论和实践上产生了许多尖锐的矛盾．最具代表性的是描述弦振动的偏微分方程的解的形式问题．描述与反映弦振动的数学形式是一个二阶偏微分方程，它的解是一个函数，由于这个方程的解是一个一般的函数，因而引起了长达几十年的关于函数的争论．后来，富里埃用三角级数表示了这个解析表达式，并用积分形式确定了三角级数的系数．这一发现使人们认识到解析表达式和曲线之间是可以互相转化的．它们不是函数的本质，只是函数的表现形式． 1837 年狄利克雷给出了一个函数的定义，这个定义与现代的工科数学教材的定义十分接近．他说：“如果对于某区间上的每一个确定的值，按照某一法则都有一个或多个确定的值，那么叫做的函数．”但是随着科学技术及数学学科本身的发展，这个以变量概念作为函数概念的定义逐渐暴露出不足之处．20 世纪初，数学家又给出了下面的函数定义：“设和是两个非空集合，如果对于每个中的元素，依照某一法则，总有确定的一个中的和它对应，这个对应法则就叫做函数”．这就是说，函数是非空集合到非空集合的一个映射．这个定义明显地不同于狄氏的定义，其一是用两个集合和取代了定义在区间上的变量和，其二是将两个集合和之间的确定的对应法则即映射叫做函数，而不是把某一变量叫做函数．这个定义使我们可以将函数概念推广到以任何对象为元素的两个集合之间，这就极大地扩展了函数概念建立的基础，适应了现代数...
