第 11 课时：第二章 函数——函数的奇偶性一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学 重点：函数的奇偶性的定义及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质 ：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．为偶函数．4．若奇函数的定义域包含，则．（二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； 2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．4．设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．5．注意数形结合思想的应用．（三）例题分析：例 1．判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．解： （1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．（2）由得定义域为，∴，1∵ ∴为偶函数（3）当时，，则，当时，，则，综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．例 2．已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示．解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数．（2）由，及是奇函数，得．例 3．（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为．（2） （《高考计划》考点 3“智能训练第 4 题”）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （ ） . . . . 例 4．设为实数，函数，．（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值．解：（1）当时，，此时为偶函数；2当时，，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当时，函数，若， 则 函 数在上 单 调 递 减 ， ∴ 函 数在上 的 最 小 值 为；若，函数在上的最小值为，且．② 当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若， 则 函 数在上 单 调 递 增 ， ∴ 函 数在上 的 最 小 值．综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是．例 5．（《高考计划》考点3“智能训练第 15 题”） 已 知是 定 义 在 实 数 集上 的 函 数 ， 满 足， 且时 ，，（1）求时，的表达式；（2）证明是上的奇函数．（参见《高考计划》教师用书）（四）巩固练习：《高考计划》考点 10 智能训练 6．3
