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(全国通用版)高考数学大一轮复习 第十二章 不等式选讲 第60讲 不等式的证明优选学案-人教版高三全册数学学案

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第 60 讲 不等式的证明考纲要求考情分析命题趋势1.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.2.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:·≥2,会用向量递归方法讨论排序不等式.3.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2017·全国卷Ⅱ,232015·全国卷Ⅱ,242015·湖南卷,16(3)不等式的证明是对必修 5 中“不等式”的补充和深化,其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主.另外应用基本不等式、柯西不等式求函数的最值也是高考考查的一个方向.分值:5~10 分1.比较法作差比较法与作商比较法的基本原理:(1)作差法:a-b>0⇔__ a > b __ .(2)作商法:>__1__⇔a>b(a>0,b>0).2.综合法与分析法(1)综合法:证明不等式时,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过__ 推理论证 __ 而得出命题成立,综合法又叫顺推证法或由因导果法.(2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的__ 充分条件 __ ,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立.这是一种__ 执果索因 __ 的思考和证明方法.3.反证法先假设要证的命题__ 不成立 __ ,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的__ 推理 __ ,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)__ 矛盾 __ 的结论,以说明假设__ 不正确 __ ,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.4.放缩法证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地__ 放大 __ 或__ 缩小 __ 以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.5.数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤:(1)证明当__ n = n 0__时命题成立;(2)假设当__ n = k __ (k∈N*,且 k≥n0)时命题成立,证明__ n = k + 1__ 时命题也成立.综合(1)(2)可知,结论对于任意 n≥n0,且 n0,n∈N*都成立.6.柯西不等式(1)代数形式:设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时等号成立.(2)向量形式:设 α,β 是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当 β 是零向量,或存在实数 k,使 α=kβ 时,等号成立.(3)三角不...

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