第 25 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲要求考情分析命题趋势1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2017·全国卷Ⅰ，132017·全国卷Ⅲ，132017·天津卷，142017·北京卷，122016·山东卷，132016·江苏卷，131.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题．2．数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.分值：5 分1．平面向量的数量积若两个__非零__向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则__| a || b |cos θ __叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作__a·b ＝ |a||b| cos θ __.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是__a·b ＝ 0 __，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是__a·b ＝ ±|a||b| __.2．平面向量数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影__|b |cos θ __的乘积．3．平面向量数量积的重要性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹角．(1)e·a＝a·e＝__|a |cos θ __.(2)非零向量 a，b，a⊥b⇔__a·b ＝ 0 __.(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝__|a||b|__；当 a 与 b 反向时，a·b＝__－ |a||b| __，a·a＝__a 2 __，|a|＝____.(4)cos θ＝____.(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝__b·a__(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a· ( λ b ) __(λ 为实数)．(3)(a＋b)·c＝__a·c ＋ b·c __.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝__x1x2＋ y 1y2__.由此得到：(1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝__x 2 ＋ y 2 __或|a|＝____；(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|AB|＝____；(3)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔__x1x2＋ y 1y2＝ 0 __.6．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝__a 2 ...
