第四讲 平面向量的综合应用ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识点一 向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔__a ＝ λ b __⇔__x1y2－ x 2y1＝ 0 __，其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔__a · b ＝ 0 __⇔__x1x2＋ y 1y2＝ 0 __，其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝____(θ 为向量 a，b 的夹角)，其中 a，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝____＝____，其中 a＝(x，y)，a 为非零向量用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．知识点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．知识点三 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．1．若 G 是△ABC 的重心，则GA＋GB＋GC＝0.2．若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(－B，A)与直线 l 平行．题组一 走出误区1．(多选题)下列命题正确的是( ACD )A．若AB∥AC，则 A，B，C 三点共线B．在△ABC 中，若AB·BC<0，则△ABC 为钝角三角形C．向量PA，PB，PC中三终点 A、B、C 共线，则存在实数 α，β，使得PA＝αPB＋βPC，且 α＋β＝1D．已知平面直角坐标系内有三个定点 A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点 P 满足：OP＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点 P 的轨迹方程是 x－y＋1＝0题组二 走进教材2．(必修 4P119A 组 T12 改编)设向量 a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，若 a⊥b，则sin 2θ＝____.[解析] a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，且 a⊥b.∴a·b＝－cos θ＋2sin θ＝0，∴tan θ＝.∴sin 2θ＝＝＝.3．(必修 4P119B 组 T13 改编)平面四边形 ABCD 中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形 ABCD 是( C )A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形[解析] 因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形 ABCD 是平行四边形．又(AB－AD)·AC＝DB...
