第 3 讲 立体几何中的向量方法[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面 EB1C1；(2)若 AE＝A1E，求二面角 BECC1的正弦值．解：(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面 ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE.又 BE⊥EC1，所以 BE⊥平面 EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故 AE＝AB，AA1＝2AB.以 D 为坐标原点，DA的方向为 x 轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，CB＝(1，0，0)，CE＝(1，－1，1)，CC1＝(0，0，2)．设平面 EBC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则即所以可取 n＝(0，－1，－1)．设平面 ECC1的法向量为 m＝(x1，y1，z1)，则即所以可取 m＝(1，1，0)．于是 cosn，m＝＝－.所以，二面角 BECC1的正弦值为.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF.又 BF⊂平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD.(2)作 PH⊥EF，垂足为 H.由(1)得，PH⊥平面 ABFD.以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝.又 PF＝1，EF＝2，故 PE⊥PF.可得 PH＝，EH＝.则 H(0，0，0)，P，D，DP＝，HP＝为平面 ABFD 的法向量．设 DP 与平面 ABFD 所成角为 θ，则 sin θ＝＝＝.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.[明考情]高考对此部分的命题较为稳定，一般为解答题，多出现在第 18 或 19 题的第二问的位置，考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上．利用空间向量证明平行与垂直[典型例题] 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面 PAD；(3)平面 PCD⊥平面 PAD.【 证 明 】 依 题 意 ， 以 点 A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ( 如 图 ) ， 可 得B(1 ，...
