第 29 讲 平面向量的数量积及其应用考试要求 1.平面向量数量积的含义及其物理意义(B 级要求)；2.数量积的坐标表示，数量积的运算(C 级要求)；3.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂直(B 级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(3)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角.( )(4)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( )解析 (1)两个向量的夹角的范围是[0，π].(3)若 a·b>0，a 和 b 的夹角可能为 0；若 a·b<0，a 和 b 的夹角可能为 π.(4)由 a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量 b 和 c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(教材改编)已知△ABC 中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则BC·CA＝________.解析 画图可知向量BC与CA夹角为角 C 的补角(图略)，故BC·CA＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×＝－16.答案 －163.(2015·全国Ⅱ卷改编)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝________.解析 因为 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以 2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.答案 14.(2017·无锡一模)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若 a－b 与 ma＋b 垂直，则实数 m的值为________.解析 由(a－b)·(ma＋b)＝0，得 ma2＋(1－m)a·b－b2＝0，即 5m＋(1－m)－2＝0，解得m＝.答案 5.(2017·镇江期末)已知向量 a＝(－2，1)，b＝(1，0)，那么|2a＋b|＝________.解析 因为 2a＋b＝(－3，2)，所以|2a＋b|＝＝.答案 知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1) 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b ， 记 OA ＝ a ， OB ＝ b ， 则 ∠ AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量| a || b |cos θ 叫做a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝| a || b |cos __θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝＝.(3)夹角：c...
