第 30 讲 平面向量的平行与垂直考试要求 1.掌握向量平行与向量垂直的充要条件(B 级要求)；2.能应用向量平行与向量垂直的条件解决相关证明与应用问题(B 级要求).诊 断 自 测1.下面说法中正确的有________(填序号).① 若 a∥b，则存在 λ∈R，使 a＝b；② 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 x1x2＋y1y2＝0，则 a⊥b；③(必修 4P82 习题 8 改编)已知向量 a＝(3，1)，b＝(2，λ).若 a∥b，则实数 λ＝；④(必修 4P81 练习 2 改编)已知向量 a＝(5，12)，b＝(sin α，cos α)，若 a∥b，则 tan α＝；⑤(必修 4P99 本章测试改编)设 x∈R，向量 a＝(x，1)，b＝(3，－2)，若 a⊥b，则 x＝.解析 ①当 a≠0，b＝0 时，b 一定为 0，故此时不存在∈R，使 a＝λb；② 当 a＝0 或 b＝0 时，x1x2＋y1y2＝0 成立，但只有两非零向量的夹角为 90°时，称为a⊥b；⑤ 由 3x－2＝0 得 x 应该为.答案 ③④2.(2017·无锡高三上学期期末)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若 a－b 与 ma＋b 垂直，则 m 的值为________.解析 由 a＝(2，1)，b＝(1，－1)，得 a－b＝(1，2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因为 a－b 与 ma＋b 垂直，所以 2m＋1＋2(m－1)＝0，解得 m＝.答案 3.已知向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且 u∥v，则实数 x 的值为________.解析 因为 a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以 u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3).又因为 u∥v，所以 3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即 10x＝5，解得 x＝.答案 4.(必修 4P97 复习题改编)已知向量 a＝(－3，4)，向量 b∥a，且|b|＝1，那么 b＝________.解析 设 b＝(x，y)，则由已知得解得或答案 或5.(必修 4P97 复习题 10 改编)已知向量 a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)⊥(ka＋b)，则实数 k＝________.解析 由已知，－2a＋b＝(7，－4)，ka＋b＝(－3k＋1，k－2)，而(－2a＋b)⊥(ka＋b)，故 7(－3k＋1)＋(－4)(k－2)＝0，解得 k＝.答案 知 识 梳 理(1)两个向量平行的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b⇔存在λ ∈ R ，使 a ＝ λ b ；或 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)两个非零向量垂直的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔a · b ＝ 0 ；或a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .考点一 向量的平行(共线)问题...
