难点六 数列中的证明、探索性和存在性、不定方程的解等综合问题 (对应学生用书第 72 页)近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的证明、探索等综合问题，这类问题不仅考查学生的分析问题解决问题的能力，以及探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间．1．等差数列、等比数列的证明问题有关证明、判断数列是等差(等比)数列的主要证明方法有：定义法、性质法．定义法：用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子 an－an－1＝d 和 an＋1－an＝d 有差别，前者必须加上“n≥2”，否则 n＝1 时 a0 无意义；在等比数列中一样有：① n≥2 时，有＝…＝q(常数 q≠0)；② n∈N*时，有＝…＝q(常数 q≠0)．性质法：an＋an＋2＝2an＋1⇔{an}是等差数列，anan＋2＝(an＋1)2(an≠0)⇔{an}是等比数列，这是证明数列{an}为等差(等比)数列的另一种主要方法．【例 1】 (苏北四市淮安、宿 迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)在数列{an}中，已知 a1＝，an＋1＝an－，n∈N*，设 Sn为{an}的前 n 项和．(1)求证：数列{3nan}是等差数列；(2)求 Sn；(3)是否存在正整数 p，q，r(p＜q＜r)，使 Sp，Sq，Sr 成等差数列？若存在，求出p，q，r 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：因为 an＋1＝an－，n∈N*，所以 3n＋1an＋1－3nan＝－2，又因为 a1＝，所以 31·a1＝1，所以{3nan}是首项为 1，公差为－2 的等差数列．(2)由(1)知 3nan＝1＋(n－1)·(－2)＝3－2n，所以 an＝(3－2n)n，所以 Sn＝1·1＋(－1)·2＋(－3)·3＋…＋(3－2n)·n，所以 Sn＝1·2＋(－1)·3＋…＋(5－2n)·n＋(3－2n)·n＋1，两式相减得 Sn＝－2－(3－2n)·n＋1＝－2＋(2n－3)·n＋1＝2n·n＋1，所以 Sn＝.(3)假设存在正整数 p，q，r(p＜q＜r)，使 Sp，Sq，Sr成等差数列，则 2Sq＝Sp＋Sr，即＝＋.由于当 n≥2 时，an＝(3－2n)n＜0，所以数列{Sn}单调递减．又 p＜q，所以 p≤q－1 且 q 至少为 2，所以≥，－＝.① 当 q≥3 时，≥≥，又＞0，所以＋＞，等式不成立．② 当 q＝2 时，p＝1，所以＝＋，所以＝，所以 r＝3({Sn}单调递减，解唯一确定)．综上可知，p，q，r 的值为 1,2,3.2．数列中探索与存在性问题数列探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在．若推理不出现矛盾...
