专题七 随机变量、空间向量江苏 新高考这两部分内容的教学课时都较多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一个内容.但 2017 年两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力.,由于考题属中档题要求，所以不宜过难.立体几何题应当容易建立空间直角坐标系，以计算空间角为主；概率题也是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、n 次独立重复试验的模型及二项分布这几个基本知识交叉考查.第 1 课时 随机变量与分布列(能力课)[常考题型突破]离散型随机变量的分布列及其期望[例 1] (2017·南通二调)某乐队参加一户外音乐节，准备从 3 首原创新曲和 5 首经典歌曲中随机选择 4 首进行演唱．(1)求该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为 a(a 为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为 2a.求观众与乐队的互动指数之和 X 的概率分布及数学期望．[解] (1)设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件 A，则事件 A 的对立事件为“没有 1 首原创新曲被演唱”．所以 P(A)＝1－P()＝1－＝.答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为.(2)设随机变量 x 表示被演唱的原创新曲的首数，则 x 的所有可能值为 0,1,2,3.依题意，X＝ax＋2a(4－x)，故 X 的所有可能值依次为 8a,7a,6a,5a.则 P(X＝8a)＝P(x＝0)＝＝，P(X＝7a)＝P(x＝1)＝＝，P(X＝6a)＝P(x＝2)＝＝，P(X＝5a)＝P(x＝3)＝＝.从而 X 的概率分布为：X8a7a6a5aP 所以 X 的数学期望 E(X)＝8a×＋7a×＋6a×＋5a×＝a.[方法归纳]求离散型随机变量问题的四步骤由于离散型随机变量的数学期望、方差是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率．具体步骤如下：(1)明确随机变量的意义及其所有可能的取值 x1，x2，…；(2)根据事件的种类求随机变量的概率 P(X＝xi)，i＝1,2，…；(3)写出分布列Xx1x2…Pp1p2…(这里可用分布列性质：0≤pi≤1 及 p1＋p2＋…＋pn＝1 检验是否出错)；(4)根据题目要求计算数学期望 E(X)或方差 V(X)． [变式训练](2017·扬州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知 A，B 两学习小组各有 5 位同学，每位同...
