第三章 导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算1．导数的概念(1)平均变化率一般地，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.(2)函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数① 定义：设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 时，此值＝无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f ′( x 0) ． ② 几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点( x 0， f ( x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0) ． (3)函数 f(x)的导函数若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xαf′(x)＝αx α － 1 f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－ sin _xf(x)＝ax(a>0，且 a≠1)f′(x)＝a x ln _af(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) ；(2)[Cf(x)]′＝Cf ′( x ) (C 为常数)；(3)[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；(4)′＝(g(x)≠0)．[小题体验]1．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.解析：因为 f′(x)＝－8＋4x，所以 f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得 x0＝3.答案：32．曲线 y＝x3－x＋3 在点(1,3)处的切线方程为________．答案：2x－y＋1＝03.已知 y＝f(x)是可导函数，如图，直线 y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－，所以 f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以 g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以 g′(3)＝1＋3×＝0.答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′＝αxα－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直...
