第六节正弦定理和余弦定理————————————————————————————————[考纲传真]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C变形形式(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝cosA＝；cosB＝；cosC＝解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．()(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.()(4)在△ABC中，＝.()[解析](1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.(2)错误．由cosA＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．(3)错误．由b＜a知，B＜A.(4)正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定C[由正弦定理，得＝sinA，＝sinB，＝sinC，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cosC＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝()A.B.C．2D．3D[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.]4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.或[由正弦定理＝，代入可求得sinB＝，故B＝或B＝.]5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．2[由题意及余弦定理得cosA＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsinA＝×4×2×sin60°＝2.]利用正、余弦定理解三角形在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【导学号：31222129】[解]设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3.6分又由正弦定理得sinB＝＝＝，由题设知0＜B＜，所以cosB＝＝＝.9分在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝＝＝＝.12分[规律方法]1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须“”判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意大边对大角在判定中的应用．[变式训练1](1)(2017·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.(1)A(2)[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又 cosB＝，∴cosB＝，∴B＝30°.(2)在△ABC中， cosA＝，cosC＝，∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.又 ＝，∴b＝＝＝.]判断三角形的形状(1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acosA＝bcosB，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)(2016·安徽安庆二模)设角A，B，C是△ABC“的三个内角，则A＋B＜C”“是△ABC”是钝角三角形的()A．充分不必要条件B．必要...
