第三节等比数列及其前n项和————————————————————————————————[考纲传真]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k…，为等比数列，公比为qk.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{an}的公比为－，则的值是()A．－2B．－C.D．2A[＝＝－2.]3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝()A．64B．128C．256D．512A[设等比数列的首项为a1，公比为q，则由解得或(舍去)，所以a6＝a1q5＝64，故选A.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.6[ a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又 Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]等比数列的基本运算(1)(2016·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝()A．32B．64C．128D．256(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．【导学号：31222183】(1)C(2)2n－1[(1) {an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4. a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，∴q＝－或q＝2. an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.][规律方法]1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，“”一般可以知三求二，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1](1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－C．1或－D．－1或(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝__________.(1)C(2)28[(1)根据已知条件得②÷①得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.]等比数列的判定与证明(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.[解](1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，2分故λ≠1，a1＝，故a1≠0.3分由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.5分由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an...
