第三节等比数列及其前n项和————————————————————————————————[考纲传真]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1.(2)前n项和公式:Sn=3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a;(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列;(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k…,为等比数列,公比为qk.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(“√”“正确的打,错误的打×”)(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.()(4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2.(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{an}的公比为-,则的值是()A.-2B.-C.D.2A[==-2.]3.(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中,an>0,a1+a2=6,a3=8,则a6=()A.64B.128C.256D.512A[设等比数列的首项为a1,公比为q,则由解得或(舍去),所以a6=a1q5=64,故选A.]4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.27,81[设该数列的公比为q,由题意知,243=9×q3,q3=27,∴q=3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]5.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=__________.6[ a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.又 Sn=126,∴=126,解得n=6.]等比数列的基本运算(1)(2016·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和,a2·a4=16,S3=7,则a8=()A.32B.64C.128D.256(2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于__________.【导学号:31222183】(1)C(2)2n-1[(1) {an}为等比数列,a2·a4=16,∴a3=4. a3=a1q2=4,S3=7,∴S2==3,∴(1-q2)=3(1-q),即3q2-4q-4=0,∴q=-或q=2. an>0,∴q=2,则a1=1,∴a8=27=128.(2)设等比数列的公比为q,则有解得或又{an}为递增数列,∴∴Sn==2n-1.][规律方法]1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,n,q,an,Sn,“”一般可以知三求二,体现了方程思想的应用.2.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,在运算过程中,应善于运用整体代换思想简化运算.[变式训练1](1)在等比数列{an}中,a3=7,前3项和S3=21,则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=__________.(1)C(2)28[(1)根据已知条件得②÷①得=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.(2)由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q2,a6=a1q5,所以27a1q2=a1q5,所以q=3,由Sn=,得S6=,S3=,所以=·=28.]等比数列的判定与证明(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.[解](1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,2分故λ≠1,a1=,故a1≠0.3分由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.5分由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.因此{an...