§2剩余类及完全剩余系定义设 m 是一个给定的正整数，K r 0,1...』1 表示所有形如 rqm r q 0, 1, 2,...的整数组成的集合，则称火。,%,…,!^ ］为模 m 的剩余类.定理 1 设 m 0,K0,K「・..，Km ］是模 m 的剩余类，则〔〕每一整数必包含于*一个类里，而且只能包含于一个类里；〔〕两个整数 x,y 属于同一类的充分必要条件是 x y rod m .证〔〕设 3 是任意一个整数，则由带余除法，得 a qm r, 0 r m，故 a K .r故每一整数必包含于*一类里.又设a K，且 a K ，这里 0 r m, 0 r m ,则存在整数 q,q 使得 rr于是，m |r r ,m ||r r |.但是 0 |r r| m，故 |r r | 0, r r 0, r r.〔〕设 a,b 是两个整数，并且都在 Kr内，则存在整数％,%分别使得故 a b rod m .反之，假设 a b rod m，则由同余的定义知，a,b 被 m 除所得的余数一样，设余数都为 r q r m ,则 a 和 b 都属于同一类 K .r定义在模 m 的剩余类 K『K，各取一数 aj C『j 0, L・.,ni 1,此 m 个数a ,a 称为模 m 的一个完全剩余系.01 ml推论 m 个整数作成模 m 的一个完全剩余系的充分必要条件是这 m 个整数两两对模 m 不同余.证充分性设 a ,a ,...，a 是 m 个两两对模 m 不同余的整数.由定理 1 知，每个整数 a 必 12mi在模 m 的 m 个剩余类火。,%,…,!^〔中*一剩余类里，且只能在一个剩余类里.因a,a,・..,a 是 m 个两两对模 m 不同余的整数，故有定理 1 得，a,a,...，a 分别属于不同 12m12m的剩余类，故 a1?a^.,^是模 m 的一个完全剩余系.必要性 设 a1?a^.,^是模 m 的一个完全剩余系，则由完全剩余系的定义得，这 m 个数分别属于不同的 m 个剩余类 K ,K.由定理 1 得，a,a,...，a 两两对模 m 不01ml12同余.0,l,...,ni 1 是模 m 的一个完全剩余系.当 m 为奇数时， ?,，・・・1,0,1.,..,g 是模 m 的一个完全剩余系.,，一,mmm … mm , m当为偶数时， 了，5 L，・・・LO'hrE 1与 了 L，・・・LO'LM’E L5 都是模 m 的完全剩余系.定理 2 设 m 是一个正整数，a,b 都为整数，a,m 1,假设 x 通过模 m 的一个完全剩余系，则 ax b 也通过模 m 的一个完全剩余系.证设 x 通过模 m 的完全剩余系 a1?a2^.,am.下面证明 ax b 也通过模 m 的一个完全剩余系.根据定理 1 的推论，只需证明 aa1 b,a...
