第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·秦皇岛模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2).所以BE＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)，所以cos〈BE，CD1〉＝＝＝.答案C2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴|MN|＝＝a.答案A3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得∴n1＝(1，2，2). 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.答案B4.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P.则CA＝(2a，0，0)，AP＝，CB＝(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n＝(x，y，z)，则解得可取n＝(0，1，1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案A5.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.解析如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1A1＝(2，0，0)，DB＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得n＝(－1，1，1).∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.答案D二、填空题6.(2016·郑州模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为__________.解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量.则n·A1B＝0，n·A1C1＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2，1，2)，D1C1＝(0，2，0)设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，D1C1〉|＝.答案7.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为________.解析取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴OA＝，BA＝，BD＝.设平面ABD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则BA·n＝0，且BD·n＝0，∴＋z0＝0，且x0＋＝0，因此取x0＝1，得平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，由于OA＝为平面BCD的一个法向量，∴cos〈n，OA〉＝，∴sin〈n，OA〉＝.答案8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.答案60°三、解答题9.(2015·安徽卷)如图所示，在多面体A1B1D1－DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EF∥B1C.(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值.(1)证明由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂面A1DE，B1C⊄面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1.面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.(2)解因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD.以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的...
