第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造函数证明不等式1,2函数零点(方程根)有关不等式3赋值法证明不等式41.已知函数f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+c(a≠0).(1)若f(x)的图象与g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上,且在该点处两条曲线的切线互相垂直,求b和c的值;(2)若a=c=1,b=0,当x>0时,证明:f(x)>g(x).(1)解:由已知f(0)=1,f′(x)=ex,f′(0)=1,g(0)=c,g′(x)=2ax+b,g′(0)=b,依题意有所以(2)证明:当a=c=1,b=0时,g(x)=x2+1.令h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-1,则h′(x)=ex-2x.设k(x)=h′(x)=ex-2x,则k′(x)=ex-2,当xln2时,k′(x)>0,k(x)在(ln2,+∞)上单调递增.所以当x=ln2时,k(x)取得极小值,且极小值为k(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4>0,即k(x)=h′(x)=ex-2x>0恒成立,故h(x)在R上单调递增,又h(0)=0,因此当x>0时,h(x)>h(0)=0,即f(x)>g(x).2.已知函数f(x)=x2+lnx.(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=x3+x2的下方.(1)解:因为f(x)=x2+lnx,所以f′(x)=2x+.因为x>1时,f′(x)>0,所以f(x)在[1,e]上是增函数,所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=1,最大值是f(e)=1+e2.(2)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=x2-x3+lnx,所以F′(x)=x-2x2+===.因为x>1,所以F′(x)<0,所以F(x)在(1,+∞)上是减函数,所以F(x)-1.证明:因为f′(x)=x-2a+=(x>0).由x2-2ax+1=0得Δ=4a2-4,①当-1≤a≤1时,f′(x)≥0,f(x)单调递增无极值点,不符合题意.②当a>1或a<-1时,令f′(x)=0则x2-2ax+1=0的两根为x1,x2,因为x1为函数f(x)的极大值点,所以00,所以a>1,00,当h(1)=-1,即x1lnx1-a>-1得证.4.导学号18702128已知函数f(x)=ln(x+1)+.(1)若当x>0时,f(x)>1恒成立,求a的取值范围;(2)求证:ln(n+1)>+++…+(n∈N*).(1)解:由ln(x+1)+>1得a>(x+2)-(x+2)ln(x+1).令g(x)=(x+2)[1-ln(x+1)],则g′(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.所以g(x)1(x>0),所以ln(x+1)>.取x=得ln(+1)>,即ln>.所以ln+ln+ln+…+ln>+++…+,即ln(n+1)>+++…+(n∈N*).
