第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系【选题明细表】知识点、方法题号极坐标与直角坐标的互化1直线和圆的极坐标方程及应用2简单曲线的极坐标方程及应用3,41.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ,点P为☉C上一动点,点M的极坐标为(4,),点Q为线段PM的中点.(1)求点Q的轨迹C1的方程;(2)试判定轨迹C1和☉C的位置关系,并说明理由.解:(1)由☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,所以☉C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,又点M的极坐标为(4,),所以点M的直角坐标为(0,4).设点P(x0,y0),点Q(x,y),则有+(y0-1)2=1.(*)因为点Q为线段PM的中点,所以代入(*)得轨迹C1的方程为x2+(y-)2=.(2)因为☉C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1,而轨迹C1是圆心为(0,),半径为的圆,所以两圆的圆心距为,等于两圆半径和,所以两圆外切.2.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,ρcos(θ+)=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.解:(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离为d==>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点.(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则即①因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos(θ0+)=1,②将①代入②,得cos(θ+)=1,即ρ=2cos(θ+)为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为(x-)2+(y+)2=1,因此点P的轨迹是以(,-)为圆心,1为半径的圆.3.导学号49612292在极坐标系中,圆C是以点C(2,-)为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长.解:法一(1)设所求圆上任意一点M(ρ,θ),如图,在Rt△OAM中,∠OMA=90°,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.因为cos∠AOM=,所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,即ρ=4cos(2π-θ-)=4cos(θ+),验证可知,极点O与A(4,-)的极坐标也满足方程,故ρ=4cos(θ+)为所求.(2)设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于点P,在Rt△OAP中,∠OPA=90°,易得∠AOP=,所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.法二(1)圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos(θ+).(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos(θ+),得ρ=2,所以圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长为2.4.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ-).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.解:(1)依题意得ρ=2cos(θ-)=2(cosθ+sinθ),即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),可得x2+y2-2x-2y=0,故C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,即ρ(cosθ+sinθ)=-1,化为直角坐标方程为x+y+2=0,由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心,为半径的圆,且圆心到直线C1的距离d==>r=,于是直线与圆相离,所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.
