第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、并项法、分组法求和1,2,3,9,12裂项相消法求和5,10错位相减法求和6,11,15数列的综合应用4,7,13,14数列的实际应用8基础对点练(时间:30分钟)1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则a1+a2+a3+…+a100等于(D)(A)-200(B)-100(C)200(D)100解析:由题意知,a1+a2+a3+…+a100=-1+3-5+…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.故选D.2.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于(D)(A)13(B)10(C)9(D)6解析:因为an==1-,所以Sn=n-(++…+)=n-1+,而=5+,令n-1+=5+,得n=6.故选D.3.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列{}的前5项和为(C)(A)或5(B)或5(C)(D)解析:设{an}的公比为q,由题意知q≠1,所以由=,解得q=2.所以{}是以1为首项,为公比的等比数列,所以S5==,故选C.4.(2016·安徽安庆一模)各项均不为零的等差数列{an}中,若-an-1-an+1=0(n∈N*,n≥2),则S2017等于(D)(A)0(B)2(C)2017(D)4034解析:=an-1+an+1=2an,an≠0,所以an=2,所以Sn=2n,S2017=2×2017=4034.故选D.5.+++…+的值为(C)(A)(B)-(C)-(+)(D)-+解析:因为===(-),所以+++…+=(1-+-+-+…+-)=(--)=-(+).故选C.6.Sn=+++…+等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由Sn=+++…+,①得Sn=++…++,②①-②得,Sn=+++…+-=-,所以Sn=.7.(2016·广西桂林一模)已知数列{an}中,an+1=2an,a3=8,则数列{log2an}的前n项和等于.解析:因为=2,a3=8,所以a2=4,a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n,所以log2an=n,所以数列{log2an}的前n项和等于.答案:8.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=.解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{an},由题意知,a1=10,an+an-1+an-2=114,=a1·an.所以3an-1=114,即an-1=38.(a1+5d)2=a1·(an-1+d),所以(10+5d)2=10×(38+d),即5d2+18d-56=0,解得d=2或d=-(舍去).所以an-1=10+(n-2)×2=2n+6=38,所以n=16.答案:169.导学号18702264对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn=.解析:因为an+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.所以Sn==2n+1-2.答案:2n+1-210.导学号18702265已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+an=1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3(1-Sn+1)(n∈N*),求适合方程++…+=的正整数n的值.解:(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=,当n≥2时,因为Sn=1-an,Sn-1=1-an-1,所以Sn-Sn-1=(an-1-an),即an=(an-1-an),所以an=an-1(n≥2),所以{an}是以为首项,为公比的等比数列,故an=·()n-1=2·()n(n∈N*).(2)1-Sn=an=()n,bn=log3(1-Sn+1)=log3()n+1=-n-1.==-,++…+=(-)+(-)+…+(-)=-,解方程-=,得n=100.11.导学号18702267已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设{}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)依题意得,解得所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1(n∈N*).(2)=3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②①-②得-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)·3n=3+2·-(2n+1)·3n=-2n·3n,所以Tn=n·3n(n∈N*).能力提升练(时间:15分钟)12.导学号18702268在数列{an}中,a1=1,a2=2,且-an=1+(-1)n(n∈N+),则S100等于(B)(A)1300(B)2600(C)0(D)2602解析:原问题可转化为当n为奇数时,an+2-an=0;当n为偶数时,an+2-an=2.进而转化为当n为奇数时,为常数列{1};当n为偶数时,为首项为2,公差为2的等差数列,所以S100=S奇+S偶=50×1+(50×2+×2)=2600.故选B.13.导学号18702269Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=,9S3=S6,设Tn=a1a2a3…an,则使Tn取最小值的n值为(C)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:设等比数列的公比为q,故由9S3=S6,得9×=,解得q=2,故=an=×2n-1,易得当n≤5时,<1,即TnTn-1,据此可得T5...
