高考数学二轮复习 专题22 随机变量及其分布列 理（含解析）试题VIP免费

一、解答题1．(2014·安徽理，17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．[分析]①甲在四局内赢得比赛，即甲前两局胜，或第一局败，二、三局胜，或第一局胜，第二局败，第三、四局胜．②比赛总局数最少2局，最多5局，求概率时，既要考虑甲胜结束，又要考虑乙胜结束．③由于各局比赛结果相互独立，故按独立事件公式计算积事件的概率．[解析]用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝()2＋×()2＋××()2＝.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.故X的分布列为X2345PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.[方法点拨]1.求复杂事件的概率的一般步骤：1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；2°理清各事件之间的关系，列出关系式；3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．3．要准确理解随机变量取值的意义，准确把握每一个事件所包含的基本事件，然后依据类型代入概率公式进行计算．4．概率与统计知识结合的问题，先依据统计知识明确条件，求出有关统计的结论，再将所求问题简化为纯概率及其分布的问题，依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解．5．离散型随机变量的分布列的性质：设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.2．(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．[分析]考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型．(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有2个豆沙粽的10个粽子中取3个，据此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望．[解析](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.(2)X的可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝综上知，X的分布列为：X012P故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)[方法点拨]如果题目条件是从含A类物品M件，总数为N的A、B两类物品中，抽取n件，其中含有A类物品件数X为随机变量，则按超几何分布公式直接计算．请练习下题：一盒中有12个零件，其中有3个次品，从盒中每一次取出一个零件，取后不放回，求在取到正品前已取次数X的分布列和期望．[分析]由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X所对应的事件的准确含义．据此正确地计算概率p.[解析]X可能的取值为0、1、2、3这四个数，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的是次品，第k＋1次取得正品，其中k＝0、1、2、3.(1)当X＝0时，第1次取到正品，试验中止，此时P(X＝0)＝＝.(2)当X＝1时，第1次取到次品，第2次取到正品，P(X＝1)＝×＝.(3)当X＝2时，前2次取到次品，第3次取到正品，P(X＝2)＝××＝.当X＝3时，前3次将次品全部取出，P(X＝3)＝××＝.所以X的分布列为：X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3．(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款(单位：元)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200，＋∞)顾客人数m2030n10统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元...