§6.3等比数列考点一等比数列的概念及运算14.(2012安徽,4,5分)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10=()A.4B.5C.6D.7答案B由题意得an=a1×2n-1,且a1>0,∵a3a11=16,∴a1=,∴log2a10=log2×29=log225=5,故选B.评析本题考查了等比数列及对数的知识,重点考查等比数列的基本运算.15.(2013江苏,14,5分)在正项等比数列{an}中,a5=,a6+a7=3.则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为.答案12解析设等比数列的首项为a1,公比为q>0,由得a1=,q=2.由a1+a2+…+an>a1a2…an,得2n-1>.检验知n=12时,212-1>211;n=13时,213-1<218,故满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值是12.16.(2012北大保送生,2)在正项等比数列{an}中,a4+a3-a2-a1=5,则a5+a6的最小值为.答案20解析设等比数列{an}的公比为q,则由条件,得(a2+a1)·q2-a2-a1=5,a2+a1=.据a2+a1>0知,q2-1>0,从而a5+a6=(a1+a2)q4=5·=5≥52+2=20,当且仅当q2-1=,即q2=2时取等号,故a5+a6的最小值为20.17.(2012浙江,13,4分)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.答案解析由S2=3a2+2,S4=3a4+2作差可得a3+a4=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,所以2q2-q-3=0,解得q=或q=-1(舍).评析本题考查等比数列的概念和性质,考查运算求解能力.18.(2012辽宁,14,5分)已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=.答案2n解析∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2an·q2=5an·q,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去).又∵=a10=a5·q5,∴a5=q5=25=32,∴32=a1·q4,解得a1=2,∴an=2×2n-1=2n,故an=2n.评析本题考查等比数列的通项公式,考查学生的运算求解能力及逻辑推理能力.19.(2011江西,18,12分)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}唯一,求a的值.解析(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,所以{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.(2)设{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不等的实根,由{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.评析本题主要考查等比数列及方程思想,考查学生的逻辑思维能力,属中等难度题.
