同余的性质与应用(15 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。同余的性质及应用1 引言数论的一些基础内容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深化的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的.在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用 24 去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用 7 去除某一个总的天数所得的余数，假如某月 2 号是星期一，用 7 去除这月的号数，余数是 2 的都是星期一.我国古代孙子算经里已经提出了同余式,,…, 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数学九章》中提出了同余式, , 是个两两互质的正整数，,的一般解法.同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论讨论中，有关质数分布问题，如除数问题，圆内格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题.数论的进展以及现代数学进展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性质的一些简单应用，通过本文的阐述，希望可以为对数论有兴趣的读者，增加学习数论知识的兴趣，并能为他们攻破那些经典的数论难题开展数论课题课题提供一些帮助.2 同余的概念给定一个正整数，把它叫做模，假如用去除任意两个整数与所得的余数相同，我们就说对模同余，记作,假如余数不同，就说对模不同余.由定义得出同余三条性质：（1）；（2）,则；（3）,,则.定义也可描述为:整数,对模同余的充分必要条件是,即, 是整数.3 同余的八条基本性质由同余的定义和整数的性质得出[1]：（1）若,,则 若, 则（2）若,, 则 特别地,若,则（3）若, , 则（4）若, , , ,则（5）若,, 则； 若, 是,及任一正公因数,则（6）若,,则其中是, 个数最小公倍数（7）若, ,,则（8）, ,若能整除及,两数之一,则必整...
