§3.2导数的应用考点一函数的单调性9.(2013四川,21,14分)已知函数f(x)=其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x10.因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-时等号成立.所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2-x1的最小值为1.(7分)(3)当x1x1>0时,f'(x1)≠f'(x2),故x1<00时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y-lnx2=(x-x2),即y=·x+lnx2-1.两切线重合的充要条件是由①及x1<0h(0)=-ln2-1.所以a>-ln2-1.又当x1∈(-1,0)且趋近于-1时,h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(-ln2-1,+∞).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln2-1,+∞).(14分)评析本题主要考查函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想.10.(2013重庆,17,13分)设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析(1)因f(x)=a(x-5)2+6lnx,故f'(x)=2a(x-5)+.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>0),f'(x)=x-5+=.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当03时,f'(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2f(1)的x的集合(用区间表示).解析(1)由题意得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3>0,∴[(x2+2x+k)+3]·[(x2+2x+k)-1]>0,∴x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1,∴(x+1)2<-2-k(-2-k>0)或(x+1)2>2-k(2-k>0),∴|x+1|<或|x+1|>,∴-1--1+,∴函数f(x)的定义域D为(-∞,-1-)∪(-1-,-1+)∪(-1+,+∞).(2)f'(x)=-=-,由f'(x)>0得(x2+2x+k+1)(2x+2)<0,即(x+1+)(x+1-)(x+1)<0,∴x<-1-或-1-1+,结合函数f(x)的单调性知f(x)>f(1)的解集为(-1-,-1-)∪(-1-,-3)∪(1,-1+)∪(-1+,-1+).评析本题考查函数的定义域,利用导数研究函数的单调性以及含参不等式的解法,考查分类讨论思想,逻辑推理能力和运算求解能力,难度较大.12.(2013江西,21,14分)已知函数f(x)=a,a为常数且a>0.(1)证明:函数f(x)的图象关于直线x=对称;(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点.如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;(3)对于(2)中的x1,x2和a,设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0).记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.解析(1)证明:因为...
