第十六章几何证明选讲考点一平行线截割定理与相似三角形8.(2014广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=.答案9解析依题意得△CDF∽△AEF,由EB=2AE可知AE∶CD=1∶3.故=9.9.(2012辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.证明(1)由AC与☉O'相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理,∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.从而=,即AC·BD=AD·AB.(4分)(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.从而=,即AE·BD=AD·AB.(8分)结合(1)的结论,AC=AE.(10分)评析本题考查圆与三角形的性质,考查学生推理论证能力及数形结合思想.考点二圆的初步11.(2015湖北,15,5分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.答案解析由切割线定理得PA2=PB·PC,∵BC=3PB,∴PC=4PB,则PA2=4PB2,∴PA=2PB.又∠PAB=∠PCA,∠APB=∠CPA,∴△PAB∽△PCA,则==.12.(2013湖北,15,5分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为.答案8解析不妨设AD=1,AB=3,则CD2=AD·DB=2,DO=.又CE∶EO=CD2∶DO2,故=8.13.(2013重庆,14,5分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为.答案5解析设外接圆的圆心为O,则AB是直径,O为AB的中点.连结OE,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,又由CD与圆相切,得∠BCD=60°.又由BD⊥CD,得∠CBD=30°,所以∠OBD=60°,所以△OBE是等边三角形,BE=10.又可算得BD=15,则DE=15-10=5.14.(2012广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=.答案解析连结OA,由圆周角定理得∠AOC=60°,又由切线的性质得OA⊥PA,在Rt△POA中,PA=OA·tan∠AOC=.评析本题考查圆的重要性质及圆的切线的性质,考查推理论证能力.15.(2013天津,13,5分)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.答案解析由切割线定理得EA2=EB·ED,即62=EB·(EB+5),解得EB=4.又易知∠C=∠EAB,由AB=AC可得∠C=∠ABC,于是∠ABC=∠EAB,∴EA∥BC,又AC∥BD,于是四边形ACBE为平行四边形,∴BC=EA=6,AC=EB=4.又由AC∥BD可得△AFC∽△DFB,于是==,∴=,即CF=×6=.16.(2015陕西,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求☉O的直径.解析(1)证明:因为DE为☉O直径,则∠BED+∠EDB=90°,又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而∠CBD=∠BED.又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA,则==3,又BC=,从而AB=3.所以AC==4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即☉O直径为3.17.(2015湖南,16(1),6分)选修4—1:几何证明选讲如图,在☉O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO.证明(1)如图所示.因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.18.(2014辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连结BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,BD=AC,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径,所以ED=AB.
