星期六(综合限时练)解答题综合练(设计意图:训练考生在规定时间内得高分,限时:80分钟)1.(本小题满分12分)已知向量m=(sin,1),n=(cos,cos2).记f(x)=m·n.(1)若f(a)=,求cos的值;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在上有零点,求实数k的取值范围.解f(x)=sincos+cos2=sin+.(1)由已知f(a)=,得sin+=,于是a=4kπ+,k∈Z,∴cos=cos=1.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)=sin+的图象,当x∈时,-≤x-≤π,所以-≤sin≤1,所以0≤sin+≤,若函数y=g(x)-k在上有零点,则k∈.2.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.(1)证明连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)解由AC=CB=AB,得AC⊥BC.以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),=(1,1,0),=(0,2,1),=(2,0,2).设n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的一个法向量,则即可取n=(1,-1,-1).同理,设m是平面A1CE的一个法向量,则可取m=(2,1,-2).从而cos〈n,m〉==,故sin〈n,m〉=.即二面角D-A1C-E的正弦值为.3.(本小题满分12分)某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动:在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1,2,3,…,10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且仅有两个连号的为三等奖,奖金为30元;三球号码构成等差数列的为二等奖,奖金为60元;三球号码分别为1,6,8为一等奖,奖金为240元;其余情况无奖金.(1)求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望;(2)若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会,求他得奖次数η的方差是多少?解(1)奖金ξ的所有可能取值为0,30,60,240.顾客抽奖一次,基本事件总数为C=120,P(ξ=30)===,P(ξ=60)===,P(ξ=240)=,P(ξ=0)=1---=,∴ξ的分布列为ξ03060240P∴E(ξ)=0×+30×+60×+240×=26.(2)顾客乙一次抽奖中奖的概率P=1-=.四次抽奖相互独立,所以得奖次数η~B,∴D(η)=4××=.4.(本小题满分12分)(2015·山东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值;(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.解(1)由题意知2a=4,则a=2,又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.(ⅰ)设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为+y=1,又+=1,即=1,所以λ=2,即=2.(ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2,①则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|===2.设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②由①②可知0<t≤1,因此S=2=2,故S≤2,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.由(ⅰ)知,△ABQ面积为3S,所在△ABQ面积的最大值为6.5.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a>0).(1)曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,求a的值;(2)当x≥0时,f(x)≥2x+,试求a的取值范围.解(1)已知f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a>0),则f′(x)=+=,f′(0)==,由题意知f′(0)=2,∴=2,∴a=1.(2)令g(x)=f(x)-2x-(0≤x<a),则g′(x)=′=f′(x)-2-2x2=-2-2x2=[x4-(a2-1)x2+a-a2].①当0<a≤1时,a2-1≤0,a-a2≥0.当0≤x<a...