第4练平面向量[明考情]向量是高考的必考考点，难度不大，一般以选择、填空题的形式考查，也会与三角函数、解析几何知识交汇命题.[知考向]1.平面向量的线性运算.2.平面向量的数量积.3.平面向量的综合应用.考点一平面向量的线性运算要点重组(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘.(2)共线向量定理.(3)平面向量基本定理.方法技巧(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得OC＝sOA＋tOB，且s＋t＝1，s，t∈R.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.1.设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－AC答案A解析 BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.2.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为()A.B.C.1D.3答案B解析 AN＝NC，∴AN＝AC，∴AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN.又B，N，P三点共线，∴m＝.3.在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x等于()A.－2B.－4C.－3D.－1答案D解析 a－b＝(3，1)，∴a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)，∴2a＋b＝(－2，6).又(2a＋b)∥c，∴－6＝6x，解得x＝－1.4.已知AB，DC为梯形ABCD的两腰，若AD＝(－1，3)，BC＝(1－x，2x)，则x＝______.答案3解析由梯形的性质知，AD∥BC，且同向，则－1·2x－3(1－x)＝0，解得x＝3.5.在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足|BM|＝3|CM|，若AM＝xAB＋yAC，则x－y＝________.答案－2解析因为AM＝AC＋CM＝AC＋BC，BC＝AC－AB，所以AM＝AC＋(AC－AB)＝AC－AB，所以x＝－，y＝，则x－y＝－2.考点二平面向量的数量积要点重组(1)a·b＝|a||b|cosθ.(2)|a|2＝a·a；cosθ＝.方法技巧(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.6.已知三点A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，4)，则向量BC在向量BA方向上的投影为()A.B.－C.D.－答案A解析BC＝(－2，3)，BA＝(－4，－2)，向量BC在向量BA方向上的投影为＝＝，故选A.7.(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A.a⊥bB.|a|＝|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案A解析方法一 |a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则.在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.8.(2016·全国Ⅲ)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC等于()A.30°B.45°C.60°D.120°答案A解析|BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝.又 0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.9.已知在△ABC中，|AB＋AC|＝|BC|＝2且|AC|＝1，则函数f(t)＝|tAB＋(1－t)AC|的最小值为()A.B.C.D.答案B解析由|AB＋AC|＝|BC|＝|BA＋AC|＝2及|AC|＝1知，在△ABC中，∠A＝90°，|AB|＝，则f2(t)＝t2AB2＋2t(1－t)AB·AC＋(1－t)2AC2＝42＋，故当t＝时，f(t)min＝.10.(2017·北京)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则AO·AP的最大值为________.答案6解析方法一根据题意作出图象，如图所示，A(－2，0)，P(x，y).由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x，0).AO·AP＝|AO||AP|cosθ，|AO|＝2，|AP|＝，cosθ＝＝，所以AO·AP＝2(x＋2)＝2x＋4.点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1，1].所以AO·AP的最大值为2＋4＝6.方法二如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，所以AO＝(2，0)，AP＝(cosα＋2，sinα)，AO·AP＝2cosα＋4≤2＋4＝6，当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1，0)时“＝”号成立.考点三平面向量的综合应用方法技巧(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.11.向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos等于()A.B.－C.－D.－答案...
